LRU算法详解

一、什么是 LRU 算法

就是一种缓存淘汰策略。

计算机的缓存容量有限，如果缓存满了就要删除一些内容，给新内容腾位置。但问题是，删除哪些内容呢？我们肯定希望删掉哪些没什么用的缓存，而把有用的数据继续留在缓存里，方便之后继续使用。那么，什么样的数据，我们判定为「有用的」的数据呢？

LRU 缓存淘汰算法就是一种常用策略。LRU 的全称是 Least Recently Used，也就是说我们认为最近使用过的数据应该是是「有用的」，很久都没用过的数据应该是无用的，内存满了就优先删那些很久没用过的数据。

举个简单的例子，安卓手机都可以把软件放到后台运行，比如我先后打开了「设置」「手机管家」「日历」，那么现在他们在后台排列的顺序是这样的：

但是这时候如果我访问了一下「设置」界面，那么「设置」就会被提前到第一个，变成这样：

假设我的手机只允许我同时开 3 个应用程序，现在已经满了。那么如果我新开了一个应用「时钟」，就必须关闭一个应用为「时钟」腾出一个位置，关那个呢？

按照 LRU 的策略，就关最底下的「手机管家」，因为那是最久未使用的，然后把新开的应用放到最上面：

现在你应该理解 LRU（Least Recently Used）策略了。当然还有其他缓存淘汰策略，比如不要按访问的时序来淘汰，而是按访问频率（LFU 策略）来淘汰等等，各有应用场景。本文讲解 LRU 算法策略。

二、LRU 算法描述

LRU 算法实际上是让你设计数据结构：首先要接收一个 capacity 参数作为缓存的最大容量，然后实现两个 API，一个是 put(key, val) 方法存入键值对，另一个是 get(key) 方法获取 key 对应的 val，如果 key 不存在则返回 -1。

注意哦，get 和 put 方法必须都是 $O(1)$ 的时间复杂度，我们举个具体例子来看看 LRU 算法怎么工作。

/* 缓存容量为 2 */
LRUCache cache = new LRUCache(2);
// 你可以把 cache 理解成一个队列
// 假设左边是队头，右边是队尾
// 最近使用的排在队头，久未使用的排在队尾
// 圆括号表示键值对 (key, val)
cache.put(1, 1);
// cache = [(1, 1)]
cache.put(2, 2);
// cache = [(2, 2), (1, 1)]
cache.get(1);       // 返回 1
// cache = [(1, 1), (2, 2)]
// 解释：因为最近访问了键 1，所以提前至队头
// 返回键 1 对应的值 1
cache.put(3, 3);
// cache = [(3, 3), (1, 1)]
// 解释：缓存容量已满，需要删除内容空出位置
// 优先删除久未使用的数据，也就是队尾的数据
// 然后把新的数据插入队头
cache.get(2);       // 返回 -1 (未找到)
// cache = [(3, 3), (1, 1)]
// 解释：cache 中不存在键为 2 的数据
cache.put(1, 4);    
// cache = [(1, 4), (3, 3)]
// 解释：键 1 已存在，把原始值 1 覆盖为 4
// 不要忘了也要将键值对提前到队头

三、LRU 算法设计

分析上面的操作过程，要让 put 和 get 方法的时间复杂度为 O(1)，我们可以总结出 cache 这个数据结构必要的条件：查找快，插入快，删除快，有顺序之分。

因为显然 cache 必须有顺序之分，以区分最近使用的和久未使用的数据；而且我们要在 cache 中查找键是否已存在；如果容量满了要删除最后一个数据；每次访问还要把数据插入到队头。

那么，什么数据结构同时符合上述条件呢？哈希表查找快，但是数据无固定顺序；链表有顺序之分，插入删除快，但是查找慢。所以结合一下，形成一种新的数据结构：哈希链表。

LRU 缓存算法的核心数据结构就是哈希链表，双向链表和哈希表的结合体。这个数据结构长这样：

思想很简单，就是借助哈希表赋予了链表快速查找的特性嘛：可以快速查找某个 key 是否存在缓存（链表）中，同时可以快速删除、添加节点。回想刚才的例子，这种数据结构是不是完美解决了 LRU 缓存的需求？

也许读者会问，为什么要是双向链表，单链表行不行？另外，既然哈希表中已经存了 key，为什么链表中还要存键值对呢，只存值不就行了？

想的时候都是问题，只有做的时候才有答案。这样设计的原因，必须等我们亲自实现 LRU 算法之后才能理解，所以我们开始看代码吧～

四、代码实现

很多编程语言都有内置的哈希链表或者类似 LRU 功能的库函数，但是为了帮大家理解算法的细节，我们用 Java 自己造轮子实现一遍 LRU 算法。

首先，我们把双链表的节点类写出来，为了简化，key 和 val 都认为是 int 类型：

class Node {
    public int key, val;
    public Node next, prev;
    public Node(int k, int v) {
        this.key = k;
        this.val = v;
    }
}

然后依靠我们的 Node 类型构建一个双链表，实现几个需要的 API（这些操作的时间复杂度均为 $O(1)$)：

class DoubleList {  
    // 在链表头部添加节点 x，时间 O(1)
    public void addFirst(Node x);
    // 删除链表中的 x 节点（x 一定存在）
    // 由于是双链表且给的是目标 Node 节点，时间 O(1)
    public void remove(Node x);
    // 删除链表中最后一个节点，并返回该节点，时间 O(1)
    public Node removeLast();
    // 返回链表长度，时间 O(1)
    public int size();
}

PS：这就是普通双向链表的实现，为了让读者集中精力理解 LRU 算法的逻辑，就省略链表的具体代码。

到这里就能回答刚才“为什么必须要用双向链表”的问题了，因为我们需要删除操作。删除一个节点不光要得到该节点本身的指针，也需要操作其前驱节点的指针，而双向链表才能支持直接查找前驱，保证操作的时间复杂度 $O(1)$。

有了双向链表的实现，我们只需要在 LRU 算法中把它和哈希表结合起来即可。我们先把逻辑理清楚：

// key 映射到 Node(key, val)
HashMap<Integer, Node> map;
// Node(k1, v1) <-> Node(k2, v2)...
DoubleList cache;
int get(int key) {
    if (key 不存在) {
        return -1;
    } else {        
        将数据 (key, val) 提到开头；
        return val;
    }
}
void put(int key, int val) {
    Node x = new Node(key, val);
    if (key 已存在) {
        把旧的数据删除；
        将新节点 x 插入到开头；
    } else {
        if (cache 已满) {
            删除链表的最后一个数据腾位置；
            删除 map 中映射到该数据的键；
        } 
        将新节点 x 插入到开头；
        map 中新建 key 对新节点 x 的映射；
    }
}

如果能够看懂上述逻辑，翻译成代码就很容易理解了：

class LRUCache {
    // key -> Node(key, val)
    private HashMap<Integer, Node> map;
    // Node(k1, v1) <-> Node(k2, v2)...
    private DoubleList cache;
    // 最大容量
    private int cap;
    public LRUCache(int capacity) {
        this.cap = capacity;
        map = new HashMap<>();
        cache = new DoubleList();
    }
    public int get(int key) {
        if (!map.containsKey(key))
            return -1;
        int val = map.get(key).val;
        // 利用 put 方法把该数据提前
        put(key, val);
        return val;
    }
    public void put(int key, int val) {
        // 先把新节点 x 做出来
        Node x = new Node(key, val);
        if (map.containsKey(key)) {
            // 删除旧的节点，新的插到头部
            cache.remove(map.get(key));
            cache.addFirst(x);
            // 更新 map 中对应的数据
            map.put(key, x);
        } else {
            if (cap == cache.size()) {
                // 删除链表最后一个数据
                Node last = cache.removeLast();
                map.remove(last.key);
            }
            // 直接添加到头部
            cache.addFirst(x);
            map.put(key, x);
        }
    }
}

这里就能回答之前的问答题“为什么要在链表中同时存储 key 和 val，而不是只存储 val”，注意这段代码：

if (cap == cache.size()) {
    // 删除链表最后一个数据
    Node last = cache.removeLast();
    map.remove(last.key);
}

当缓存容量已满，我们不仅仅要删除最后一个 Node 节点，还要把 map 中映射到该节点的 key 同时删除，而这个 key 只能由 Node 得到。如果 Node 结构中只存储 val，那么我们就无法得知 key 是什么，就无法删除 map 中的键，造成错误。

至此，你应该已经掌握 LRU 算法的思想和实现了，很容易犯错的一点是：处理链表节点的同时不要忘了更新哈希表中对节点的映射。

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yuxiang-zhang 提供 C++ 代码：

class LRUCache {
    // key -> iterator to pair(key, val) in the list
    unordered_map<int, list<pair<int, int>>::iterator> map;
    // pair(k1, v1) <-> pair(k2, v2)...
    list<pair<int, int>> cache;
    // 最大容量
    int cap;
public:
    LRUCache(int capacity) : cap(capacity) {}
    int get(int key) {
        if(map.find(key) == map.end()) {
            return -1;
        }
        int val = map[key]->second;
        // 利用 put 方法把该数据提前
        put(key, val);
        return val;
    }
    void put(int key, int value) {
        pair<int, int> x = {key, value};
        if(map.find(key) != map.end()) {
            // 删除旧的节点
            cache.erase(map[key]);
            // 新的插到头部
            cache.emplace_front(x);
            // 更新 map 中对应的数据
            map[key] = cache.begin();
        } else {
            if(cap == cache.size()) {
                // 删除链表最后一个数据
                pair<int, int> last = cache.back(); cache.pop_back();
                map.erase(last.first);
            }
            // 直接添加到头部
            cache.emplace_front(x);
            map[key] = cache.begin();
        }
    }
};

eric wang 提供 Python3 代码

class ListNode:
    def __init__(self, key: int, val: int):
        self.key = key
        self.val = val
        self.prev = None
        self.next = None
class LRUCache:
    def __init__(self, capacity: int):
        # 最大容量
        self.cap = capacity
        self.cache = {}
        # 哨兵节点
        self.sentinel = ListNode(None, None)
        # 尾节点： 用于链表容量超过最大容量是快速定位、删除尾节点
        self.tail = ListNode(None, None)
        # 初始化双向链表
        self.sentinel.next = self.tail
        self.tail.prev = self.sentinel
    def get(self, key: int) -> int:
        if key in self.cache:
            node = self.cache[key]
            # 从链表中删除该节点
            self.remove_node_from_list(node)
            # 把该节点添加到链表头部
            self.push_node_to_front(node)
            return node.val
        else:
            return -1
    def put(self, key: int, value: int) -> None:
        # 如果该节点已经存在那么删除该节点
        if key in self.cache:
            self.remove_node_from_list(self.cache[key])
        # 把该节点添加到链表头部
        node = ListNode(key, value)
        self.cache[key] = node
        self.push_node_to_front(node)
        # 如果链表超过最大容量，删除链表尾部节点
        if len(self.cache) > self.cap:
            last_node = self.tail.prev
            self.remove_node_from_list(last_node)
            self.cache.pop(last_node.key)
    # 从链表中删除节点
    def remove_node_from_list(self, node: "ListNode") -> None:
        prev = node.prev
        nxt = node.next
        prev.next = nxt
        nxt.prev = prev
    # 添加节点到链表头部
    def push_node_to_front(self, node: "ListNode") -> None:
        nxt = self.sentinel.next
        self.sentinel.next = node
        node.next = nxt
        node.prev = self.sentinel
        nxt.prev = node