动态规划之四键键盘

四键键盘问题很有意思，而且可以明显感受到：对 dp 数组的不同定义需要完全不同的逻辑，从而产生完全不同的解法。

首先看一下题目：

动态规划之四键键盘 - 图1

如何在 N 次敲击按钮后得到最多的 A？我们穷举呗，每次有对于每次按键，我们可以穷举四种可能，很明显就是一个动态规划问题。

第一种思路

这种思路会很容易理解，但是效率并不高，我们直接走流程：对于动态规划问题，首先要明白有哪些「状态」，有哪些「选择」。

具体到这个问题，对于每次敲击按键，有哪些「选择」是很明显的：4 种，就是题目中提到的四个按键，分别是 A、C-A、C-C、C-V（Ctrl 简写为 C）。

接下来，思考一下对于这个问题有哪些「状态」？或者换句话说，我们需要知道什么信息，才能将原问题分解为规模更小的子问题？

你看我这样定义三个状态行不行：第一个状态是剩余的按键次数，用 n 表示；第二个状态是当前屏幕上字符 A 的数量，用 a_num 表示；第三个状态是剪切板中字符 A 的数量，用 copy 表示。

如此定义「状态」，就可以知道 base case：当剩余次数 n 为 0 时，a_num 就是我们想要的答案。

结合刚才说的 4 种「选择」，我们可以把这几种选择通过状态转移表示出来：

  1. dp(n - 1, a_num + 1, copy),    # A
  2. 解释：按下 A 键，屏幕上加一个字符
  3. 同时消耗 1 个操作数
  5. dp(n - 1, a_num + copy, copy), # C-V
  6. 解释：按下 C-V 粘贴，剪切板中的字符加入屏幕
  7. 同时消耗 1 个操作数
  9. dp(n - 2, a_num, a_num)        # C-A C-C
  10. 解释：全选和复制必然是联合使用的，
  11. 剪切板中 A 的数量变为屏幕上 A 的数量
  12. 同时消耗 2 个操作数

这样可以看到问题的规模 n 在不断减小，肯定可以到达 n = 0 的 base case，所以这个思路是正确的：

  1. def maxA(N: int) -> int:
  3.     # 对于 (n, a_num, copy) 这个状态，
  4.     # 屏幕上能最终最多能有 dp(n, a_num, copy) 个 A
  5.     def dp(n, a_num, copy):
  6.         # base case
  7.         if n <= 0: return a_num;
  8.         # 几种选择全试一遍，选择最大的结果
  9.         return max(
  10.                 dp(n - 1, a_num + 1, copy),    # A
  11.                 dp(n - 1, a_num + copy, copy), # C-V
  12.                 dp(n - 2, a_num, a_num)        # C-A C-C
  13.             )
  15.     # 可以按 N 次按键，屏幕和剪切板里都还没有 A
  16.     return dp(N, 0, 0)

这个解法应该很好理解，因为语义明确。下面就继续走流程，用备忘录消除一下重叠子问题：

  1. def maxA(N: int) -> int:
  2.     # 备忘录
  3.     memo = dict()
  4.     def dp(n, a_num, copy):
  5.         if n <= 0: return a_num;
  6.         # 避免计算重叠子问题
  7.         if (n, a_num, copy) in memo:
  8.             return memo[(n, a_num, copy)]
  10.         memo[(n, a_num, copy)] = max(
  11.                 # 几种选择还是一样的
  12.             )
  13.         return memo[(n, a_num, copy)]
  15.     return dp(N, 0, 0)

这样优化代码之后，子问题虽然没有重复了，但数目仍然很多，在 LeetCode 提交会超时的。

我们尝试分析一下这个算法的时间复杂度，就会发现不容易分析。我们可以把这个 dp 函数写成 dp 数组：

  1. dp[n][a_num][copy]
  2. # 状态的总数（时空复杂度）就是这个三维数组的体积

我们知道变量 n 最多为 N，但是 a_num 和 copy 最多为多少我们很难计算，复杂度起码也有 O(N^3) 把。所以这个算法并不好，复杂度太高，且已经无法优化了。

这也就说明，我们这样定义「状态」是不太优秀的，下面我们换一种定义 dp 的思路。

第二种思路

这种思路稍微有点复杂，但是效率高。继续走流程，「选择」还是那 4 个，但是这次我们只定义一个「状态」，也就是剩余的敲击次数 n。

这个算法基于这样一个事实，最优按键序列一定只有两种情况：

要么一直按 A：A,A,…A（当 N 比较小时）。

要么是这么一个形式：A,A,…C-A,C-C,C-V,C-V,…C-V（当 N 比较大时）。

因为字符数量少（N 比较小）时，C-A C-C C-V 这一套操作的代价相对比较高，可能不如一个个按 A；而当 N 比较大时，后期 C-V 的收获肯定很大。这种情况下整个操作序列大致是：开头连按几个 A，然后 C-A C-C 组合再接若干 C-V，然后再 C-A C-C 接着若干 C-V，循环下去。

换句话说，最后一次按键要么是 A 要么是 C-V。明确了这一点，可以通过这两种情况来设计算法：

  1. int[] dp = new int[N + 1];
  2. // 定义：dp[i] 表示 i 次操作后最多能显示多少个 A
  3. for (int i = 0; i <= N; i++) 
  4.     dp[i] = max(
  5.             这次按 A 键，
  6.             这次按 C-V
  7.         )

对于「按 A 键」这种情况，就是状态 i - 1 的屏幕上新增了一个 A 而已，很容易得到结果：

  1. // 按 A 键，就比上次多一个 A 而已
  2. dp[i] = dp[i - 1] + 1;

但是，如果要按 C-V，还要考虑之前是在哪里 C-A C-C 的。

刚才说了，最优的操作序列一定是 C-A C-C 接着若干 C-V，所以我们用一个变量 j 作为若干 C-V 的起点。那么 j 之前的 2 个操作就应该是 C-A C-C 了：

  1. public int maxA(int N) {
  2.     int[] dp = new int[N + 1];
  3.     dp[0] = 0;
  4.     for (int i = 1; i <= N; i++) {
  5.         // 按 A 键
  6.         dp[i] = dp[i - 1] + 1;
  7.         for (int j = 2; j < i; j++) {
  8.             // 全选 & 复制 dp[j-2]，连续粘贴 i - j 次
  9.             // 屏幕上共 dp[j - 2] * (i - j + 1) 个 A
  10.             dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j - 2] * (i - j + 1));
  11.         }
  12.     }
  13.     // N 次按键之后最多有几个 A？
  14.     return dp[N];
  15. }

其中 j 变量减 2 是给 C-A C-C 留下操作数，看个图就明白了：

动态规划之四键键盘 - 图2

这样，此算法就完成了，时间复杂度 O(N^2)，空间复杂度 O(N)，这种解法应该是比较高效的了。

最后总结

动态规划难就难在寻找状态转移，不同的定义可以产生不同的状态转移逻辑，虽然最后都能得到正确的结果，但是效率可能有巨大的差异。

回顾第一种解法，重叠子问题已经消除了，但是效率还是低，到底低在哪里呢？抽象出递归框架：

  1. def dp(n, a_num, copy):
  2.     dp(n - 1, a_num + 1, copy),    # A
  3.     dp(n - 1, a_num + copy, copy), # C-V
  4.     dp(n - 2, a_num, a_num)        # C-A C-C

看这个穷举逻辑，是有可能出现这样的操作序列 C-A C-C，C-A C-C... 或者 C-V,C-V,...。然这种操作序列的结果不是最优的，但是我们并没有想办法规避这些情况的发生，从而增加了很多没必要的子问题计算。

回顾第二种解法，我们稍加思考就能想到，最优的序列应该是这种形式：A,A..C-A,C-C,C-V,C-V..C-A,C-C,C-V..。

根据这个事实，我们重新定义了状态，重新寻找了状态转移，从逻辑上减少了无效的子问题个数，从而提高了算法的效率。